Journée de théorie des nombres
Combinatoire additive
Et analyse de Fourier
IECL

UL
Institut Élie Cartan de Lorraine
(IECL, UMR CNRS 7502)


Nancy, 15 juin 2018
CNRS IAEM


UL

Organisateurs : Robin Riblet, Anne de Roton, Pierre-Adrien Tahay et Johann Verwee.
Accès : Accès au campus et stationnement et plan du campus.
Programme :
Conférenciers :

Christine Bachoc (université de Bordeaux)
Titre : About a linear analogue of Freiman’s 3k-4 theorem
Résumé : Joint work with Alain Couvreur and Gilles Zémor Freiman’s 3k-4 theorem states in precise terms that a subset of the integers with small doubling is necessary contained in a not too large arithmetic progression. We will discuss a multiplicative counterpart of this theorem in the context of a function field over an algebraically closed field, where the goal is to characterize the linear subspaces with small square. It turns out that in this situation, the Riemann-Roch spaces play the role of the arithmetic progressions. We will formulate a conjecture that can be seen as an analogue of Freiman’s result and will sketch a proof of the case k<=1.

Jörg Brüdern (Göttingen)
Titre : Totients of polynomial sequences
Résumé : We discuss factors common to totients of polynomial sequences. The question comes from representation theory, the tools from classical analytic number theory.

Laurent Habsieger (Lyon)
Titre : Explicit asymptotics for signed binomial sums and applicationsTotients of polynomial sequences
Résumé : Carnevale and Voll studied Dirichlet series enumerating orbits of Cartesian products of maps whose orbits distributions are modelled on the distributions of finite index subgroups of free abelian groups of finite ranks. For Cartesian products of more than three maps they establish a natural boundary for meromorphic continuation. For products of two maps, they formulate two combinatorial conjectures that prove the existence of such a natural boundary. These conjectures state that some explicit polynomials have no unitary factors, i. e. polynomial factors that, for a suitable choice of variables, are univariate and have all their roots on the unit circle. The polynomials related their Conjecture are given by: $$C_{\lambda_1,\lambda_2}(x,1)=\sum_{j=0}^{\lambda_2} {\lambda_1\choose j}{\lambda_2\choose j} x^j$$ for positive integers $\lambda_1\ge \lambda_2$, and they conjecture the following property.

Conjecture : Let $\lambda_1> \lambda_2$. Then $C_{\lambda_1,\lambda_2}(-1,1)\neq0$.

Stanton noticed that the alternating summands have increasing absolute values for $\lambda_1>\lambda_2(\lambda_2+1)-1$, thus showing the following result.

Proposition 1 : For all $\lambda_2$ and $\lambda_1>\lambda_2(\lambda_2+1)-1$, we have $C_{\lambda_1,\lambda_2}(-1,1)\neq0$.

We show that

Proposition 2 : For all $1\le \lambda_2\le 200$ and $\lambda_1>\lambda_2$, we have $C_{\lambda_1,\lambda_2}(-1,1)\neq0$.

We study the asymptotic behaviour of $C_{\lambda_1,\lambda_2}(-1,1)$ when $\lambda_2$ goes to infinity and $r=\lambda_1/\lambda_2$ is fixed. We find explicite estimates for $r>3+2\sqrt2$ that lead to our main result.

Theorem : For $\lambda_1\ge 5.82954\lambda_2>0$, we have $C_{\lambda_1,\lambda_2}(-1,1)\neq0$.

Harald Helfgott (Göttingen, CNRS)
Titre : The natural quadratic sieve
Résumé : Sums involving the Moebius function arise naturally all over analytic number theory. A sieve is, almost by definition, a weighted sum of this kind, but weighted sums can appear in other contexts, as if of their own will, whether one is using combinatorial identities - such as Vaughan's, or studying the zeta function, say. Sums of the form \begin{equation}\sum_m\left(\sum \mu(d) \rho(d)\right)^2\end{equation} where $\rho$ is a function of restricted support, are familiar thanks in part to Selberg's sieve, which is precisely such a sum in which $\rho$ has been optimized as a function on the intergers. However, in many contexts, a smooth $\rho$ is preferrable - or forced on us by the context in which the sum arises. A particular case - that of a smooth $\rho$ proportional to log as it transitions between two constant functions - was studied by Barban, Vehov and Graham, among others. In particular, it was known that its leading term was as small, asymptotically, as that of the Selberg sieve. We shall see how a completely explicit treatment shows the true quality of this smooth $\rho$. The sieve thus obtained is practical even for relatively small integers.

Hervé Queffelec (Lille)
Titre : Approximation des fonctions et des opérateurs. Autour d'une formule de Bernstein et Widom
Résumé : Soit $K$ le compact $[-1,1]$ et $f:K\to\mathbb{C} $ une fonction continue. On pose \begin{equation}\label{pol} E_{n}(f)=\inf_{P\in \mathcal{P}_n} \Vert f-P\Vert_\infty \ où \ \Vert h\Vert_\infty=\sup_{z\in K}|h(z)| .\end{equation} Un résultat fondateur de Bernstein dit que, si $\Omega$ est l'intérieur de l'ellipse $$\mathcal{E}_\rho=\{z : |z-1|+|z+1|=\rho+ \rho^{-1}\} \ où \ \rho>1,$$ alors on a pour $f\in \mathcal{C}(K)$ une formule de type Hadamard : $$\limsup_{n\to \infty}\big(E_{n}(f)\big)^{1/n}\leq \rho^{-1} \hbox{ ssi f a un prolongement analytique dans }\ \Omega.$$ Ce résultat a été étendu par Walsh, Kolmogorov, Widom à d'autres couples $(K,\Omega)$, en termes de la capacité de Green de $K$ dans $\Omega$. Une extension au cas multidimensionnel a été donnée par Siciak, en termes de la "pluricapacité" de $K$ dans $\Omega$. En dimension un, nous avons pu transférer les résultats de Bernstein-Widom aux nombres singuliers \begin{equation}\label{op}a_{n}(C_\varphi)=\inf \{ \Vert C_\varphi -R\Vert \} \end{equation} (où la borne inférieure porte sur les $R$ de rang inférieur à $n$) des opérateurs de composition sur l'espace de Hardy $H^2$ du disque $\mathbb{ D}$, et donner une expression de $\lim_{n\to \infty} \big(a_{n}(C_\varphi)\big)^{1/n}$ en termes de la capacité de $\varphi(\mathbb{D})$ dans $\mathbb{ D}$, avec au moins une conséquence non-triviale. Une analogie semblable semble avoir lieu en plusieurs variables, mais avec de sévères restrictions, comme le montrera un contre-exemple en deux variables. Il s'agit de travaux communs, publiés ou en cours, avec Daniel Li et Luis Rodriguez-Piazza.

Martine Queffelec (Lille)
Titre : Sur le principe d'incertitude pour les mesures sur le cercle
Résumé : Le principle d'incertitude d'Heisenberg dit qu'une fonction $f\in L^2(\mathbb{R})$ et sa transformée de Fourier ne peuvent toutes deux être concentrées sur des "ensembles petits"; en particulier $f\not=0$ et $\hat f$ ne peuvent être toutes deux à support compact. Une autre interprétation de petitesse peut être en termes de lacunes dans le support et avec ce point de vue, $f\not=0$ et $\hat f$ ne peuvent toutes deux avoir de grands trous dans leur support. Dans les deux cas la quantification reste un problème difficile. On essaie d'étendre ce principe aux mesures singulières sur le cercle, qui apparaissent naturellement en théorie métrique des nombres. Le but est de déduire du comportement de la transformée de Fourier, des propriétés du support d'une telle mesure : que peut-on dire du support d'une mesure dont la transformée de Fourier est petite à l'infini (donc presque à support compact) ? Les réponses sont diverses, en terme de taille, de relations algébriques ou de répartition. De nombreuses questions en théorie des nombres s'appuient sur ces observations, on évoquera la conjecture (résolue) de Salem sur la mesure de Minkowski, la conjecture de Littlewood en approximation diophantienne ou la conjecture de Furstenberg.

Oriol Serra (Barcelone)
Titre : Sets with small doubling modulo p
Résumé : Sets A of integers with doubling 2A not larger than 3|A|-4 are known to have density at least 1/2 in an arithmetic progression. The analogous statement is conjectured to hold in cyclic groups of prime order. Freiman proved this to be the case for relatively small sets and doubling constant up to 2.4. Green and Ruzsa proved the statement for quite small sets. I will discuss some improvements in between these two results which use an extension of Kneser theorem for cyclic groups due to Deshouillers and Freiman. This is joint work with Pablo Candela and Christoph Spiegel.

Programme :
8h30-9h00Accueil (Hall salle de conférences)
9h00-9h45Jörg Brüdern : Totients of polynomial sequences (Salle de conférences)
9h45-10h30Laurent Habsieger : Explicit asymptotics for signed binomial sums and applicationsTotients of polynomial sequences (Salle de conférences)
10h30-11h00Pause café (Hall salle de conférences)
11h00-11h45Martine Queffelec : Sur le principe d'incertitude pour les mesures sur le cercle (Salle de conférences)
11h45-12h30Hervé Queffelec : Approximation des fonctions et des opérateurs. Autour d'une formule de Bernstein et Widom (Salle de conférences)
12h30-14h00Buffet (salle Döblin)
14h00-14h45Harald Helfgott : The natural quadratic sieve (Salle de conférences)
14h45-15h30Christine Bachoc : About a linear analogue of Freiman’s 3k-4 theorem (Salle de conférences)
15h30-16h00Pause café (Hall salle de conférences)
16h00-16h45Oriol Serra : Sets with small doubling modulo p (Salle de conférences)

Participants :
  1. Christine Bachoc (Bordeaux)
  2. Eric Balandraud (UPMC et université de Bordeaux)
  3. Julien Bernat (Université de Lorraine)
  4. Chen Bin (Tongji)
  5. Jörg Brüdern (Göttingen)
  6. François Chargois (Université de Lorraine)
  7. Cécile Dartyge (Université de Lorraine)
  8. Isabelle Dubois (Université de Lorraine)
  9. David Feutrie (Université de Lorraine)
  10. Georges Grekos (Saint-Etienne)
  11. Laurent Habsieger (Lyon)
  12. Gautier Hanna (Université de Lorraine)
  13. Harald Helfgott (Göttingen CNRS)
  14. Xiadong LYU (Université de Lorraine)
  15. Bruno Martin (Université du Littoral Côte d'Opale)
  16. Paul Péringuey (Université de Lorraine)
  17. Hervé Queffelec (Lille)
  18. Martine Queffelec (Lille)
  19. Robin Riblet (Université de Lorraine)
  20. Anne de Roton (Université de Lorraine)
  21. Jean-Marc Sac-Epee (Université de Lorraine)
  22. Oriol Serra (Barcelone)
  23. Thomas Stoll (Université de Lorraine)
  24. Pierre-Adrien Tahay (Université de Lorraine)
  25. Gérald Tenenbaum (Université de Lorraine)
  26. Lola Thompson (Oberlin College)
  27. Xin Tong
  28. Johann Verwee (Université de Lorraine)

Inscription

Les personnes souhaitant participer à cette journée sont invitées à remplir le formulaire d'inscription ci-dessous et à l'envoyer dans les meilleurs délais.

En cas de problème d'inscription avec ce formulaire ou pour toute question, veuillez contacter directement l'organisation par courriel.



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Contacts
Secrétariat :
Mme Paola Schneider
IECL, Université de Lorraine, 54506 Vandouevre-lès-Nancy
Email : paola.schneider@univ-lorraine.fr
Tél : +33 (0)3 72 74 53 91
Renseignements :
Pour tout renseignement, vous pouvez contacter Anne De-Roton, ou directement envoyer un mail à l'organisation.
 

Avec le soutien du GDR de théorie des nombres (CNRS), de l'école doctorale IAEM, de l'institut Élie Cartan de Lorraine, de l'université de Lorraine et du journal de théorie des nombres de Bordeaux.